Carlos Acosta, director de la compañía, nació en La Habana en 1973 y se formó en la Escuela Nacional de Ballet de La Habana, en Cuba. Luego de ganar varios premios, incluyendo el Prix De Lausanne de 1990, bailó profesionalmente en las compañías más prestigiosas del mundo. Fue Primer Bailarín del Royal Ballet de Londres, compañía que se convirtió en su hogar.
Luego de haber interpretado la mayoría de los roles clásicos, desde Espartaco a Romeo, Carlos Acosta se retiró del ballet en 2016, después de 28 años de carrera.
Desde su debut escénico, Acosta Danza tiene el objetivo de realizar espectáculos de danza en plena concordancia con las nociones más actuales que se desarrollan en el mundo, no solo en materia del movimiento de los cuerpos sino en todo lo referente a la escena. La compañía se define como un espacio de renovación, de búsqueda y experimentación para artistas cubanos, y también abre puertas a los creadores del mundo, coreógrafos, músicos, diseñadores, artistas de la plástica y de los audiovisuales. Su repertorio coreográfico incluye títulos de Carlos Acosta, Sidi Larbi Cherkaoui, Justin Peck, Marianela Boán, Goyo Montero, Saburo Teshigawara, Pontus Lidberg, Christopher Bruce, Rafael Bonachela, María Rovira, Jorge Crecis, entre otros.